$$I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$$ とおく. ここで, 最終的に $\pi$ を出現させるために, 直交座標系から極座標系への移行を行いたい. そのために, まず二乗して

$$I^2=\displaystyle(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)^2= (\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)\cdot(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)$$

文字を変えても積分値に変わりはないから

$$I^2=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)\cdot(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy)= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$$

$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta, dx\ dy=rdrd\theta$ とし²

$$\begin{aligned} I^2&=&\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta \\ &=&\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\infty}re^{-r^2}dr \\ &=&2\pi\left[\dfrac{1}{2}e^{-r^2}\right]^{\infty}_{0} \\ &=&\pi \end{aligned}$$ もともと $I$ は被積分関数の関数形であり, 定義域は $I > 0$ だから, $I=\sqrt{\pi}$.

$y=\sqrt{a}x, dy=\sqrt{a}dx$ とし,

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a}}dy=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\tag{1}$$ \(\) の最右辺をみるとガウス積分の公式と全く同じなので, $=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$.

単にガウス積分の類似形 1の半分の領域となるだけなので, $\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$.