ブール代数

  • 2019/05/29 09:00

ブール代数は古典論理における命題論理と密接に関連している. 結論からいえば, 両者の違いは歴史的な背景ぐらいであり, 殆どの場合は同等の理論であるということができる1. ブール代数はその応用として論理回路の構築に直接役立つことから, 計算機科学, とくにハードウェアの分野において重宝される代数系の 1 つである.

ブール代数の公理とその定理

次に示すのはブール代数の公理系である. 公理系に関する詳細は証明理論 (TODO) の冒頭を参照のこと.

ブール代数

半順序集合 (B,,,,0,1)(B,\lor,\land,',0,1) が可補分配ならば, (B,,,,0,1)(B,\lor,\land,',0,1) はブール代数である. すなわち, x,y,zBx,y,z\in B に対して, 次のすべての公理を満たした (B,,,,0,1)(B,\lor,\land,',0,1) はブール代数である.

  1. 可換律\htmlId{boolean_algebra1}{\rm 可換律}: xy=yx,xy=yxx\land y=y\land x,x\lor y=y\lor x
  2. 分配律\htmlId{boolean_algebra2}{\rm 分配律}: (xy)z=(xz)(yz),(xy)z=(xz)(yz)(x\lor y)\land z=(x\land z)\lor(y\land z),(x\land y)\lor z=(x\lor z)\land(y\lor z)
  3. 同一律\htmlId{boolean_algebra3}{\rm 同一律}: xL^\forall x\in L に対して x1=x,x0=xx\land 1=x,x\lor 0=x. ここで 11 は最大限, 単位元である. 00 は最小限, 零元である.
  4. 補元律\htmlId{boolean_algebra4}{\rm 補元律}: xL s.t. xL,xx=1,xx=0^\exists x'\in L\ {\rm s.t.}\ ^\forall x\in L, x\lor x'=1, x\land x'=0

また, この 1,01,0 からのみ成る集合をブール領域, ブール代数の下に書かれた式をブール式, nNn\in\mathbb{N} 個のブール領域の引数をとり, 1 個のブール領域の値となる関数 f:BnBf:B^n\to B をブール関数という. 例えば, 2 変数ブール関数 f(x1,x2)f(x_1,x_2) では x1,x2x_1,x_2 がそれぞれ 1,01,0 のいずれかとなるので, 24=162^4=16 通りの 2 変数ブール式が存在することとなる. 以下, 演算の優先順序は左結合性で ,,',\land,\lor の順とする. ただし, 括弧内の演算はより優先される.

さてブール代数の公理における乗法 \land と加法 \lor, および 1,01, 0 をそれぞれ入れ替えると, 再びブール代数の公理である. これは双対の原理という公理である.

双対の原理

ブール代数で成立する文/式は, そこに現れるすべての ,,0,1\lor ,\land,0,1 をそれぞれ ,,1,0\land,\lor ,1,0 で置き換えても成立する.

これらの公理から補元の一意性, べき等律, 有界律, 吸収律, 結合律, 対合律, ド・モルガンの法則, シャノンの展開定理が導出可能である. 以下 x,y,zBx,y,z\in B とする.

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