関係 (集合論) について復習.

一般的な関係

いま, 二つの要素の順序体を $\left\lt a, b\right\gt$ と書くこととする. 他の異なる順序体 $\left\lt c, b\right\gt$ に対し, 以下の通り定義する.

$$\begin{aligned} \left\lt a,b\right\gt=\left\lt c,d\right\gt&:=&a=c, b=d\\ {\rm デカルト積} = {\rm 直積} = A\times B&:=&\left\{\left\lt a,b\right\gt\mid a\in A, b\in B\right\} \end{aligned}$$

このとき順序体の要素を $n$ 個に拡張したものを $n$-tuple といい, 以下の通り定義する.

放物運動に関する復習と再現.

等加速度運動をする物体の位置関数の導出

時刻 $t=0$ における物体の位置を ${\boldsymbol x_0}$, 速度を ${\boldsymbol v_0}$ とし, 加速度を考慮しない等速運動の三次元空間上の一点に対する位置関数 ${\boldsymbol x}(t)$ を $${\boldsymbol x}(t)={\boldsymbol x_0}+{\boldsymbol v_0}t$$ とおく. このとき, 時間 $t_1$ から $t_2$ への変化量 ${\boldsymbol x}(t_2)-{\boldsymbol x}(t_1)$ を $\Delta t=t_2-t_1$ で割れば, 時間経過に対する物体の位置の対比が得られる. これは正しく速度のことであるが, これは時間 $t_1$ に位置 ${\boldsymbol x}(t_1)$, 時間 $t_2$ に位置 ${\boldsymbol x}(t_2)$ にあった物体の平均速度である. いま時間 $t$ における物体の瞬間速度を知りたいとすると, $\Delta t$ が微小量となるように極限($t_2\to t_1\Leftrightarrow \Delta t\to 0$)を取れば良い.