関係 (集合論)

  • 2019/03/15 09:00

関係 (集合論) について復習.

一般的な関係

いま, 二つの要素の順序体を <a,b>\left\lt a, b\right\gt と書くこととする. 他の異なる順序体 <c,b>\left\lt c, b\right\gt に対し, 以下の通り定義する.

<a,b>=<c,d>:=a=c,b=dデカルト積=直積=A×B:={<a,b>aA,bB} \begin{aligned} \left\lt a,b\right\gt=\left\lt c,d\right\gt&:=&a=c, b=d\\ {\rm デカルト積} = {\rm 直積} = A\times B&:=&\left\{\left\lt a,b\right\gt\mid a\in A, b\in B\right\} \end{aligned}

このとき順序体の要素を nn 個に拡張したものを nn-tuple といい, 以下の通り定義する.

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放物運動

放物運動に関する復習と再現.

等加速度運動をする物体の位置関数の導出

時刻 t=0t=0 における物体の位置を x0{\boldsymbol x_0}, 速度を v0{\boldsymbol v_0} とし, 加速度を考慮しない等速運動の三次元空間上の一点に対する位置関数 x(t){\boldsymbol x}(t)x(t)=x0+v0t{\boldsymbol x}(t)={\boldsymbol x_0}+{\boldsymbol v_0}t とおく. このとき, 時間 t1t_1 から t2t_2 への変化量 x(t2)x(t1){\boldsymbol x}(t_2)-{\boldsymbol x}(t_1)Δt=t2t1\Delta t=t_2-t_1 で割れば, 時間経過に対する物体の位置の対比が得られる. これは正しく速度のことであるが, これは時間 t1t_1 に位置 x(t1){\boldsymbol x}(t_1), 時間 t2t_2 に位置 x(t2){\boldsymbol x}(t_2) にあった物体の平均速度である. いま時間 tt における物体の瞬間速度を知りたいとすると, Δt\Delta t が微小量となるように極限(t2t1Δt0t_2\to t_1\Leftrightarrow \Delta t\to 0)を取れば良い.Read More...


最小二乗法で始めるカーブフィッティング

要旨

本エントリー(WIP)はカーブフィッティング全般に関して記述したものであり, それぞれの原理, 性質について学んだ際のメモとして, より単純なものから広く浅く挙げています. 極力ないようにはしていますが, 本内容は独学で得た知見より書いておりますので, 一部正確さが欠けている可能性があることは否めません. 何かありましたら, コメント等で指摘していただけるとありがたいです. また, 本エントリ内における近似およびプロット等に関する実装は次のリポジトリ

にまとまっています.

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LU 分解

LU 分解に関して初歩的な内容から網羅的にまとめた.

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ニュートン法の視覚化

久しぶりにまた1なにか d3.js で視覚化してみたくなったのだが, このエントリがポストされる次の日はアイザック・ニュートンの誕生日らしいので, 今回はニュートン法 (Newton Raphson 法) を視覚化してみることにした. 早速であるが以下がその成果物である2. f(x)=0f(x)=0 となる関数 f(x)f(x) とその導関数 f(x)f'(x) 及びニュートン法の初期値を受け付け, 実行をクリックすると関数とニュートン法の計算過程における接線がプロットされる. デフォルトでは, 2\sqrt{2} の値を計算するように設定してある. 入力された関数を元に数値微分をしても良かったのだが, なんとなく導関数を入力したかったので, そのようなことはしなかった.





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