LU 分解に関して初歩的な内容から網羅的にまとめた.

久しぶりにまた¹なにか d3.js で視覚化してみたくなったのだが, このエントリがポストされる次の日はアイザック・ニュートンの誕生日らしいので, 今回はニュートン法 (Newton Raphson 法) を視覚化してみることにした. 早速であるが以下がその成果物である². $f(x)=0$ となる関数 $f(x)$ とその導関数 $f'(x)$ 及びニュートン法の初期値を受け付け, 実行をクリックすると関数とニュートン法の計算過程における接線がプロットされる. デフォルトでは, $\sqrt{2}$ の値を計算するように設定してある. 入力された関数を元に数値微分をしても良かったのだが, なんとなく導関数を入力したかったので, そのようなことはしなかった.

当ブログ内では, 既に確率論の話題としてベイズの定理のエントリが存在するが, 今後同様にして確率論の話題を本ブログで取り上げる際に, 用語へのリファレンスを self-contained で張れるよう, 本エントリにて一度整理しておくこととした.

以前のエントリ, ガウス積分の公式とその証明で, 暗に極座標での微小面積が $rdrd\theta$ であるとして書いていたので, その内容についても一応書いておこうというのと, 筆者自身の学習/再整理も兼ねて, ヤコビアンに関して書くこととした.

極座標の微小面積

直交座標から極座標へ移行する際に, その微小面積はどうなるかについて考察する.

上図¹は, $1\times 1\times 1$ の立方体があって, その断面をそれぞれ極座標と直交座標で示しているだけであるが, この断面図のマスの広がり方を見るだけで, 少なくとも極座標における微小面積が $drd\theta$ とはならないことに納得できる. 単に $drd\theta$ としてしまうと, $r$ が大きくなればなるほど微小面積も伸びて大きくなっていってしまうだろうという想像がつく.

当ブログ内でガウス積分(オイラー＝ポアソン積分)の公式を用いる際に self-contained でリファレンスを張るためと, 個人的な学習の記録として, 本エントリにてガウス積分の公式とその証明について書く¹$.$ 筆者自身にとっての分かりやすさを優先しているため, 若干冗長的な記述があるかもしれない点に注意.