久しぶりにまた¹なにか d3.js で視覚化してみたくなったのだが, このエントリがポストされる次の日はアイザック・ニュートンの誕生日らしいので, 今回はニュートン法 (Newton Raphson 法) を視覚化してみることにした. 早速であるが以下がその成果物である². $f(x)=0$ となる関数 $f(x)$ とその導関数 $f'(x)$ 及びニュートン法の初期値を受け付け, 実行をクリックすると関数とニュートン法の計算過程における接線がプロットされる. デフォルトでは, $\sqrt{2}$ の値を計算するように設定してある. 入力された関数を元に数値微分をしても良かったのだが, なんとなく導関数を入力したかったので, そのようなことはしなかった.

当ブログ内では, 既に確率論の話題としてベイズの定理のエントリが存在するが, 今後同様にして確率論の話題を本ブログで取り上げる際に, 用語へのリファレンスを self-contained で張れるよう, 本エントリにて一度整理しておくこととした.

以前のエントリ, ガウス積分の公式とその証明で, 暗に極座標での微小面積が $rdrd\theta$ であるとして書いていたので, その内容についても一応書いておこうというのと, 筆者自身の学習/再整理も兼ねて, ヤコビアンに関して書くこととした.

極座標の微小面積

直交座標から極座標へ移行する際に, その微小面積はどうなるかについて考察する.

上図¹は, $1\times 1\times 1$ の立方体があって, その断面をそれぞれ極座標と直交座標で示しているだけであるが, この断面図のマスの広がり方を見るだけで, 少なくとも極座標における微小面積が $drd\theta$ とはならないことに納得できる. 単に $drd\theta$ としてしまうと, $r$ が大きくなればなるほど微小面積も伸びて大きくなっていってしまうだろうという想像がつく.

当ブログ内でガウス積分(オイラー＝ポアソン積分)の公式を用いる際に self-contained でリファレンスを張るためと, 個人的な学習の記録として, 本エントリにてガウス積分の公式とその証明について書く¹$.$ 筆者自身にとっての分かりやすさを優先しているため, 若干冗長的な記述があるかもしれない点に注意.

参考文献 1 では, 高木貞治氏の書いた解析概論の緒言として示されている三角関数の古典的な導入法の問題点と, それに対する合理的な導入, 定義に関する記述があり, 興味深かったので読んでいたのだが, ふと高校数学 Ⅲ の「普通な」加法定理や積和, 和積の公式, 導関数の導出などが頭から抜けていたので, 復習がてら書くことにした. 一応, このエントリで言う三角関数 $\cos\theta,\sin\theta$ の定義は高校数学の範囲で言われる定義と同様であり, 次のとおりである.

よくよく考えてみれば, この定義では, 孤 $A P$ の長さおよび実数 $0\lt\theta\leq\frac{\pi}{2}$ に対し孤 $A P$ の長さが $\theta$ となる $C_{+}$ 上の点 $P$ が存在することについて, 特に説明しておらず, 定義としては不十分な点があることが考えられる. 参考文献 1 にはこの問題に対する考察が綴られており, 読みやすい文体で書かれているので興味があれば読んでみることを勧める. 本エントリはそのような意味で, 特に面白みもなくただ単に高校数学 Ⅲ までの三角関数の内容を復習しているだけのものとなっているので, その点は悪しからず.