お題自由な学校のレポート課題¹内で, ショアのアルゴリズムを説明するために QFT の概要について示したのだが, 折角なのでその内容の一部を抜粋し, こちらのブログのほうにも載せておくことにした. ショアのアルゴリズムについては, 調べればいくらでも出てくるし, 学会誌, 書籍等で分かり易く述べられていることも多いので, 本エントリで特別取り上げることはしないが, その大体は以下のアクティビティ図の手順の通りである².

フィボナッチ数列を以下の漸化式で定義する.

ここで, 初項と第二項をそれぞれ $a_1=1, a_2=1$ とする. 各項を $f_{n+2}\rightarrow c^2、f_{n+1}\rightarrow c、f_n\rightarrow 1$ と置き換えると $$c^2=c+1\tag{1}$$ が得られる. この解は $c=\dfrac{1\pm{\sqrt{5}}}{2}$ となる. ここで, $\psi = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}, \phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ と置く. フィボナッチ数列の漸化式の特性方程式の解は $(1)$ の解より $\psi, \phi$ であるから $$f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}\Leftrightarrow\begin{cases}f_{n+2}-\psi f_{n+1}=\phi(f_{n+1}-\psi f_n) \\ f_{n+2}-\phi f_{n+1}=\psi(f_{n+1}-\phi f_n)\end{cases}$$ と変形できる. いま $b_n=f_{n+1}-\psi f_n, c_n=f_{n+1}-\phi f_n$ と置くと次の漸化式が得られる.

典型的なパラメトリック曲線の一種である, ベジェ曲線(Bézier curve)についての学習メモ. パラメトリック曲線とその一種であるエルミート曲線に関しては, 前回の記事を参照.

ベジェ曲線は, パラメータ $t\\ (0 \leq t \leq 1)$ と複数の制御点 $P_i$ から構成されるパラメトリック曲線の一種である¹. 始点と終点の線分から成る, 次数 $n$ のベジェ曲線は $n+1$ の制御点をもち ($= P_0, P_1, \cdots, P_n$ の制御点があるベジェ曲線を $n-1$ 次ベジェ曲線という), この内分点を繰り返し取ることによって, 曲線を得ることができる. この始点と終点の線分を, セグメントといい, これが得られる曲線そのものになる². まず, ここでは 2 次ベジェ曲線を描くとして, そのイメージをつけるために, 図³を用いてその概要を見る. なお, 2 次ベジェ曲線は true type フォントなどで使われている.

典型的なパラメトリック曲線の一種である, エルミート曲線についてのメモ.

パラメトリック曲線

そもそもパラメトリック曲線とは, 任意のパラメータから各々の座標を陽関数形式で表現できる曲線のことをいう. このとき定義できる関数 $f$ がパラメータ $t$¹ の多項式である場合, それを多項式曲線といい, 有理式である場合, それを有理曲線という. 例えば, 直線の方程式 $y = m(x-a)+b$ は,

$$\begin{cases} x=t \\ y=m(t-a)+b \end{cases}$$

とパラメタライズできる. この方程式では, パラメタライズせずとも, $x$ に 1 つの実数を代入すれば, 必ず $y$ が求まる(逆も言える)ことは明らかである. 次に, 3 次曲線 $y^{2} = x^{3} + x^{2}$ について考える.